Makalah
MEDAN GRAVITASI
BUMI
O L E H :
NAMA : SAKTI
NIM : G111 12 340
PROGRAM STUDI AGROTEKNOLOGI
FAKULTAS PERTANIAN
UNIVERSITAS
HASANUDDIN
MAKASSAR
2013
2.1 Global Gravity, Potensi, Gambar Bumi, Geoid
PENGANTAR
Secara historis, gravitasi memainkan peran
sentral dalam studi proses dinamis interior bumi dan juga pentingdalam geofisika eksplorasi. Konsepnya sederhana,
presisi tinggi pengukuran medan gravitasi cepat dan variasi spasial dalam percepatan gravitasi memberikan informasi penting tentang
keadaan dinamis bumi. Namun, studi tentang gravitasi bumi tidak mudah karena
banyak
koreksi harus dibuat untuk mengisolasi sinyal kecil
karena proses yang dinamis dan teori yang mendasari cukup
kompleks. Sehubungan dengan menentukan struktur tiga dimensi dari interior
bumi, sebuah kerugian tambahan gravitasi
dari segala bidang potensial, lebih
dari pencitraan seismik adalah bahwa ada kerancuan lebih besar
dalam menemukan sumber anomali gravitasi, khususnya dalam arah radial.
Secara umum, sinyal
gravitasi memiliki asal kompleks: percepatan karena gravitasi, dinotasikan
dengan g (g dalam notasi vektor) dipengaruhi oleh topografi , variasi
(asprecial) kepadatan dalam bumi, dan rotasi bumi. Dalam Geofisika,
tugas kita adalah untuk mengukur,karakterisasi
dan menafsirkan sinyal gravitasi dan penurunan data gravitasi adalah aspek yang
sangat penting dari bidang ilmiah. Pengukuran gravitasi biasanya diberikan sehubungan dengan
suatu referensi tertentu yang dapat tetapi tidak harus menjadi contoh
dipermukaan. An ekipotensial penting dari permukaan ekuipotensial adalah geoid (yang itu sendiri merupakan penyimpangan dari referensi spheroid).
BAB 2. MEDAN GRAVITASI BUMI
Medan Gravitasi
Hukum
tarik-menarik gravitasi dirumuskan oleh Isaac Newton (1642-1727) dan diterbitkan pada tahun 1687, yaitu, sekitar tiga generasi setelah Galileo yaitu studi tentang menentukan besarnya percepatan gravitasi dan Kepler telah menemukan empirisnya "hukum" menggambarkan orbit planet. Pada kenyataannya, argument yang kuat atas kebenaran hokum Newton tentang gerak dan gravitasi adalah bahwa mereka dapat digunakan untuk menurunkan hokum Kepler. Untuk tujuan kita, gravitasi dapat didefinisikan sebagai gaya yang bekerja pada massa m karena kombinasi dari (1) daya tarik gravitasi bumi, dengan massa M atau ME dan (2) rotasi bumi. Yang terakhir ini memiliki dua komponen: percepatan sentrifugal karena rotasi dengan kecepatan sudut ω dan keberadaan tonjolan khatulistiwa yang hasil dari keseimbangan antara diri-gravitasi dan rotasi. Gaya gravitasi antara dua partikel dengan (titik) M massa pada posisi r0 dan m pada posisi r dipisahkan dengan jarak r merupakan daya tarik sepanjang garis yang menghubungkan partikel (lihat Gambar 2.1)
F=║F║=G
(2.1) atau, dalam bentuk vektor:
F= -G
(r-ro)
= -G
(2.2)
Gambar 2.1: diagram vektor yang
menunjukkan geometri dari gaya tarik gravitasi
dimana Ë r adalah vektor satuan dalam arah (r-ro). Akun tanda minus untuk (the fact that the) poin vektor gaya F ke dalam (yaitu, towards M) sedangkan
poin keluar (jauh dari M). Berikut ini kami akan menempatkan M di
asal r (the system) berkoordinasi dan mengambil r0 pada O untuk menyederhanakan persamaan (misalnya,r-ro= r vektor menjadi (lihat Gambar 2.2). G adalah konstanta universal gravitasi: G = 6.673 x (atau N ), yang memiliki nilai yang sama untuk semua pasangan partikel. G berbeda dengan g, percepatan gravitasi, atau kekuatan dari unit
asal r (the system) berkoordinasi dan mengambil r0 pada O untuk menyederhanakan persamaan (misalnya,r-ro= r vektor menjadi (lihat Gambar 2.2). G adalah konstanta universal gravitasi: G = 6.673 x (atau N ), yang memiliki nilai yang sama untuk semua pasangan partikel. G berbeda dengan g, percepatan gravitasi, atau kekuatan dari unit
2.1 GLOBAL GRAVITASI, POTENSI GAMBAR DARI BUMI, GEOID
Gambar 2.2: Sistem koordinat yang sederhana
Karena gravitasi, yang ekspresi dapat diperoleh dengan menggunakan hukum Newton tentang gerak massa. Jika M adalah massa Bumi:
F = m.a = m.g = -G
=>
g =
= -G
(2.3)
Dan g =║ g║= G
(2.4)
g percepatan adalah panjang dari vektor dan g adalah
dengan definisi selalu positif: g> 0. Kami mendefinisikan
vektor g sebagai medan gravitasi dan mengambil dengan konvensi g positif terhadap pusat bumi yaitu dalam arah-r. G percepatan gravitasi pertama
kali ditentukan oleh Galileo, besarnya g bervariasi di
atas permukaan bumi, tetapi secara umum g=9,8 ms-2
(atau hanya 10 ms2)
(dalam SI-System Internasional d'Unit'es-unit). Dalam
menghormatinya, unit yang sering digunakan dalam gravimetri adalah Gal. 1Gal=
=0,01
≈
. Gravitasi anomali sering disajikan dalam milliGal, yaitu,
g atau microGal, yaitu,
g. Presisi ini dapat dicapai
dengan gravimeter modern. Unit alternatif adalah unit gravitasi, 1 gu = 0.1 mGal =
g. Ketika G ditentukan oleh Cavendish pada
tahun 1778 (dengan Cavendish torsi keseimbangan) massa bumi dapat ditentukan dan ditemukan bahwa rata-rata densitas bumi, ρ ~ 5.500
, jauh lebih besar dari kepadatan batuan di permukaan bumi. Pengamatan ini adalah salah satu indikasi kuat pertama yang kepadatan harus meningkatkan secara substansial terhadap pusat Bumi. Dekade berikutnya pengukuran Cavendish , banyak pengukuran dilakukan dari g pada lokasi yang berbeda di bumi dan variasi g dengan lintang. Pada masa awal "geodesi" terfokus satu di struktur planet luas; pada pertengahan hingga akhir 1800-an, para ilmuwan mulai menganalisis penyimpangan nilai referensi, yaitu anomali gravitasi lokal dan regional.
Potensial
gravitasi berdasarkan posisinya di medan gravitasi g karena massa M, setiap m massa memiliki energi potensial gravitasi. Energi ini dapat dianggap sebagai kerja W dilakukan pada massa m oleh gaya gravitasi karena M dalam bergerak m dari rref ke r dimana sering mengambil rref=∞. Untuk potensial gravitasi adalah energi potensial karena M per satuan massa. Dengan kata lain, itu kerja yang dilakukan oleh gaya gravitasi g per satuan massa.
BIDANG GRAVITASI BUMI
Potensi adalah bidang skalar yang biasanya lebih mudah untuk menangani dari medan vektor. Dan seperti yang akan kita lihat di bawah, dari potensi scalar kita dapat
dengan mudah menurunkan medan vektor tetap. (Medan gravitasi adalah bidang konservatif sehingga hanya bagaimana massa m dipindahkan dari rref ke r tidak relevan: kerja yang dilakukan hanya bergantung pada posisi awal dan akhir). Setelah definisi untuk potensial seperti yang umum di fisika, yang mempertimbangkan bumi sebagai potensi yang baik - ie negatif - kita mendapatkan untuk U:
U =
= GM
dr = -
(2.5)
Perhatikan bahwa
.dr
= -dr karena
dan dr titik dalam arah yang
berlawanan
Gambar 2.3: Secara definisi, potensi adalah nol pada tak terhingga dan menurun ke arah massa.
U merupakan potensial gravitasi pada jarak r dari massa M. Perhatikan bahwa diasumsikan bahwa U (∞) = 0 (lihat Gambar 2.3).
Potensi adalah integrasi atas ruang (baik garis, permukaan atau volume) dari bidang gravitasi. Sebaliknya, medan gravitasi, gaya gravitasi per satuan massa, adalah turunan spasial (gradien) dari potensial
g=
=
) =
-
U = - grad U = -
(2.6)
GLOBAL GRAVITASI, POTENSI, GAMBAR DARI BUMI, GEOID
2.1 Gradien dari potensial gravitasi
(Intermezzo)
Kita dapat dengan mudah melihat ini dalam cara
yang lebih umum dengan mengekspresikan darir (jarak incremental sepanjang garis
yang menghubungkan dua massa titik) menjadi beberapa set koordinat,
dengan menggunakan sifat titik produk dan total derivatif U sebagai berikut (dengan definisi kita , bergerak ke
arah yang sama seperti g terakumulasi n
du=g.dr=
(2.7)
Menurut
definisi, derivatif total U diberikan oleh
du=
dx +
dy +
dz
(2.8)
Oleh
karena itu, kombinasi dari Persamaan. 2.7 dan Persamaan. 2.8 hasil:
g= -(
,
) = -grad U
(2.9)
Satu sekarang dapat melihat bahwa fakta bahwa potensi gravitasi didefinisikan sebagai negatif berarti bahwa ketika massa m pendekatan Bumi, potensi (energi) menurun,
sedangkan percepatan karena meningkatkan daya tarik pusat bumi. Kemiringan kurva tersebut adalah nilai (positif) dari g, dan tanda minus memastikan bahwa gradien U menunjukkan arah penurunan r, yaitu terhadap pusat massa.(Konvensi plus / minus tidak unik. Dalam literatur satu sering melihat U = GM/r dan g =
.
Gradien medan skalar U adalah vektor yang menentukan tingkat dan arah perubahan U.Biarkan permukaan ekuipotensial S menjadi permukaan U konstan dan r1 dan r2 akanposisi di bahwa permukaan (yaitu, dengan U1=U2=U) Kemudian,
komponen S g sepanjang diberikan oleh (U2-U1) / (r1-r2) = 0.
Jadi g = - ∇ U tidak mempunyai komponen sepanjang S: bidang tegak lurus terhadap permukaan ekuipotensial. Hal ini selalu terjadi, seperti yang diturunkan dalam Intermezzo.
Karena cairan tidak dapat mempertahankan tegangan geser tersebut μ modulusgeser = 0, gaya yang
bekerja pada permukaan fluida harus tegak lurus ke permukaan
dalam keadaan stabil, karena setiap komponen kekuatan sepanjang permukaan cairanakan
mengakibatkan arus sampai saat ini komponen hilang. Pasukan memulihkan
diberikan oleh F = ∇-m U seperti pada Gambar 2.4, sebuah permukaan fluida mengasumsikan
permukaan ekuipotensial. Untuk Bumi bola simetris ekipotensial akan menjadi bola dan bidang gravitasi bumi.
Gambar 2.4: F =-m ∇ U memberikan gaya
pemulih bahwa tingkat permukaan laut di sepanjang permukaan ekuipotensial g akan menunjuk ke arah pusat bola. Bahkan di hadapan struktur aspherical dan rotasiini merupakan pendekatan yang sangat baik dari g. Namun, jika ekipotensial adalahsebuah elipsoid, g = -∇ U tidak menunjuk ke r = 0; ini terletak pada asal usul definisigeografis dan geosentris menggunakan potensi gravitasi, orang
dapat dengan mudah membuktikan bahwa percepatan gravitasi dari distribusi
massa bola simetris, di sebuah titik di luar massa adalah sama
dengan percepatan yang diperoleh dengan memusatkan semua massa dipusat lingkup, yaitu, titik
massa. Hal ini tampaknya sepele, tapi untuk penggunaan lahan potensial untuk mempelajari
struktur bumi memiliki beberapa implikasi penting
1.
Dalam tubuh bola simetris, potensi, dan dengan demikian g percepatan gravitasi ditentukan hanya oleh massa antara titik pengamatan di r dan pusat massa. Dalamkoordinat bola. Hal ini penting dalam pemahaman tentang variasi medan gravitasi sebagai fungsi dari radius di bumi;
2
Potensi gravitasi dengan sendirinya tidak membawa informasi tentang distribusi radial massa. Kami akan pertemuan ini nanti ketika kita membahas sifat lebih dari potensi, solusi dari persamaan Laplace dan Poisson, dan masalah non-keunikan dalaminterpretasi gravitasi..
3
Jika ada variasi lateral dalam percepatan gravitasi di permukaan lingkup, yaitu jika ekipotensial bukan merupakan bola harus ada struktur aspherical (keberangkatan dari geometri bola, bias dalam bentuk tubuh serta distribusi internaldari anomali densitas).
GLOBAL GRAVITASI, POTENSI, GAMBAR DARI BUMI, GEOID
2.2 Geometris interpretasi gradien
(Intermezzo)
Biarkan C menjadi kurva dengan C representasi parametrik (τ), fungsi vektor. Biarkan Umenjadi fungsi skalar variabel berganda. Variasi U, terbatas pada Karena itu, jika C adalah kurva U konstan kemudian,
menurut aturan rantai (2.11), pada t0=0: Hal ini berguna untuk menentukan arah derivative U dalam arah di titik p. Dari hubungan ini kita menyimpulkan bahwa gradient vector ∇ U (p) pada pemerikan arah di mana perubahan U adalah maksimum. Sekarang mari S menjadi ekuipotensial permukaan, yaitu permukaan U. konstan Tentukan satu set kurva Ci (τ) pada permukaan ini S. Jelas, untuk
masing-masing kurva. Karena Ci (τ) terletak sepenuhnya pada permukaan S, DCI (T0) akan
menentukan pesawat bersinggungan dengan permukaan S di titik p. Oleh karena itu,
dt gradien vektor ∇ U tegak lurus terhadap permukaan S U. konstan Atau: bidang tegak lurus terhadap permukaan ekuipotensial. Dalam gravitasi global satu bertujuan untuk menentukan dan menjelaskanpenyimpangan dari permukaan ekipotensial, atau lebih tepatnya perbedaan (tinggi) antara permukaan ekipotensial. Perbedaan ketinggian ini terkait dengan satu praktik g. In local mendefinisikan anomali relatif terhadap permukaan referensi. Pentingpermukaan adalah:
Geoid permukaan ekuipotensial actual yang bertepatan dengan rata-rata permukaan laut (pasang surut mengabaikan dan efek dinamis lainnya di lautan. (Referensi) spheroid: empiris, bujur independen (yaitu, zonal) bentuk permukaan laut dengan variasi halus dalam lintang yang paling cocok geoid (atau data gaya berat yang diamati). Ini akan menjadi dasar dari rumus gravitasi internasional yang mengatur gsebagai fungsi dari lintang yang membentuk nilai referensi untuk pengurangan datagravitasi.
dt gradien vektor ∇ U tegak lurus terhadap permukaan S U. konstan Atau: bidang tegak lurus terhadap permukaan ekuipotensial. Dalam gravitasi global satu bertujuan untuk menentukan dan menjelaskanpenyimpangan dari permukaan ekipotensial, atau lebih tepatnya perbedaan (tinggi) antara permukaan ekipotensial. Perbedaan ketinggian ini terkait dengan satu praktik g. In local mendefinisikan anomali relatif terhadap permukaan referensi. Pentingpermukaan adalah:
Geoid permukaan ekuipotensial actual yang bertepatan dengan rata-rata permukaan laut (pasang surut mengabaikan dan efek dinamis lainnya di lautan. (Referensi) spheroid: empiris, bujur independen (yaitu, zonal) bentuk permukaan laut dengan variasi halus dalam lintang yang paling cocok geoid (atau data gaya berat yang diamati). Ini akan menjadi dasar dari rumus gravitasi internasional yang mengatur gsebagai fungsi dari lintang yang membentuk nilai referensi untuk pengurangan datagravitasi.
BAB 2. ATAS EARTH S LAPANGAN GRAVITASI
Hidrostatik Gambar dari Bentuk Bumi: bentuk teoritis bumi jika
kita tahu aku kepadatan dan saya rotasi ‰ (elipsoid revolusi). Sekarang kita
akan menurunkan bentuk spheroid referensi; konsep ini sangat penting bagi
geodesi karena mendasari definisi dari International Gravity Formula.
Juga,memperkenalkan (kedaerahan, bujur yaitu independen) harmonik bola dengan
cara alami.
2.2 karena hampir bulat tubuh potensial gravitasi
Bagaimana kita bisa menentukan bentuk spheroid referensi. Mendatarkan bumi sudah ditemukan dan dihitung
pada akhir abad ke-18. Ini sudah diketahui bahwa jarak antara derajat lintang
yang diukur, misalnya dengan sebuah sextant, berbeda dari yangdiharapkan dari
sebuah bola: RE (Î ° 1 â 'Î ° 2)
= Redi °, dengan RE jari-jari Bumi, Î ° 1 dan Î ° 2 dua
= Redi °, dengan RE jari-jari Bumi, Î ° 1 dan Î ° 2 dua
lintang (lihat Gambar 2.5).
Gambar 2.5: eliptisitas Bumi diukur dengan jarak antara garis lintang bumi dan bola.
Pada
1743, Clairaut1 menunjukkan bahwa spheroid referensi bisa juga dihitunglangsung
dari medan gravitasi diukur g. Penurunan ini didasarkan pada perhitungandari
atpoint (P) potensi U P karena tubuh hampir bulat, dan hanya berlaku untuk
titik-titikluar (atau, dalam batas, pada permukaan) tubuh.
Kontribusi
dU ke potensial gravitasi di P karena elemen massa elemen DM pada q jarak dari P diberikan
oleh
Biasanya,
potensi diperluas dalam seri. Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara,
yangmengakibatkan hasil yang sama. Satu dapat menulis U (P) langsung dalam hal
solusidikenal persamaan Laplace (∇ 2U = 0), yang harmonik bola. Atau,
seseorang dapatmemperluas 1 Istilah / q dan mengintegrasikan istilah seri yang
dihasilkan dengan istilah. Di sini, kita akan melakukan yang terakhir karena
memberikan yang lebih baik.
POTENSIAL GRAVITASI KARENA HAMPIR BODY
Gambar 2.6: U potensi tubuh aspherical dihitung
BAB 2. 'S
MEDAN GRAVITASI BUMI
Dalam Persamaan 2.19 kita telah mengabaikan istilah orde
yang lebih tinggi (panas).Mari kita menulis
ulang eq. (2.19) dengan menggunakan identitas
+
=1;
POTENSIAL GRAVITASI KARENA HAMPIR BODY41BOLA
Intermezzo 2.4 Equivalence dengan (zonal) harmonisa bola
Perhatikan bahwa persamaan (2.19), pada kenyataannya, serangkaian kekuatan (s / r),dengan fungsi faktor multiplikasi dari cos (θ):
Perhatikan bahwa persamaan (2.19), pada kenyataannya, serangkaian kekuatan (s / r),dengan fungsi faktor multiplikasi dari cos (θ):
Dalamanalisis spektral ada nama khusus untuk faktor Pl mengalikan (s / r) l dan inidikenal sebagai polinomial Legendre, yang menentukan permukaan zonal harmonicsabola. Kita akan membahas harmonik bola secara rinci nanti tapi di sini adalah bergunauntuk menunjukkan kesamaan antara ekspresi di atas U potensial (P) sebagairangkaian kekuatan (s / r) dan cosθ dan urutan bawah bola-harmonisa. Legendre polinomial didefinisikan sebagai
dengan μ beberapa
fungsi. Dalam kasus kami kami mengambil μ = cos θ sehinggasuperposisi dari polinomial Legendre menggambarkan variasi potensi dengan lintang.Pada tahap ini kita mengabaikan variasi dengan bujur. Harmonisa permukaan bolayang bergantung pada garis
lintang hanya dikenal
sebagai bola harmonik zonal. Untuk
l = 0, 1,2 weget untuk Pl
(cos
) = 1
(2.24)
(cos
(2.25)
(cos
=
(2.26)
yang sama dengan istilah diturunkan
oleh penerapan teorema binomial. Kesetaraanantara ekspresi potensi harmonisa
bola dan salah satu yang kita deriving denganmemperluas 1 / q adalah suatu kebetulan:
potensial U memenuhi persamaan Laplacedan dalam sistem koordinat bola harmonik
sferis adalah solusi umum persamaanLaplace.
harmonik sferis aSurface berada di
permukaan bola apa deret Fourier adalah suatu kurun waktu tertentu, bisa
dianggap sebagai deret Fourier 2D yang dapat digunakan untuk mewakili kuantitas
pada permukaan sebuah bola (geoid, suhu, kecepatan gelombang seismik).sehingga
Kita bisa mendapatkan wawasan dalam fisika
jika kita melihat pada setiap jangka waktu eq. (2.20) terpisah:
pada dasarnya potensi M massa titik O.
Istilah ini akan mendominasi untuk r besar;
pada jarak yang besar yang timbul akibat
BAB 2. 'S GRAVITASI BUMI MEDAN
untuk distribusi densitas aspherical dekat
dengan yang tubuh bola (yaitu, titik massadalam O).
s cosθdMrepresents torsi jarak massa ×, yang
juga mendasari
definisi pusat massa RCM = RDM / dM.In kasus
kami, kami telah memilih O sebagaipusat massa dan RCM = 0 berkenaan dengan O.
Cara lain untuk melihat bahwaintegral ini harus lenyap adalah menyadari bahwa
integrasi atas DM pada dasarnya adalah integrasi lebih θ antara 0 dan 2π dan
bahwa cos θ =-cos (π - θ). Integrasi lebihmengambil cos θ θ kembali s dan
sebagainya atas garis antara O dan P (dalam tubuh) dengan kontribusi yang
samadari setiap sisi O, karena O adalah pusat massa. merupakan torsi dari massa
dan kuadrat jarak, yang mendasari definisi momen inersia(ingat bahwa untuk bola
homogen dengan jari-jari R dan massa M momen inersiaadalah 0,4
MR2). Momen inersia didefinisikan sebagai I =
r2 dm. Ketika berbicara tentang saat-saat harus mengidentifikasi satu inersia
sumbu rotasi. Kita dapat memahami artiintegral ketiga dengan memperkenalkan
koordinat
adalah momen inersia sekitar x-, y-, dan
z-sumbu masing-masing. Lihat Intermezzo 2.5untuk lebih lanjut tentang momen
inersia.
Dengan momen inersia didefinisikan sebagai di
dalam kotak kita dapat menulis ulangistilah ketiga dalam persamaan potensial
Di sini, s dosa θ s proyek pada bidang tegak
lurus ke OP dan ini tidak terpisahkandengan demikian merupakan momen inersia
tubuh sekitar OP. Saat ini seringdinotasikan dengan I.yang dikenal sebagai
formula MacCullagh's.
Sebesar nilai nominal ini tampaknya merupakan
hasil dari derivasi langsung dan agakmembosankan, tapi tidak mengungkapkan
beberapa sifat menarik dan penting daripotensi dan bidang terkait. Persamaan
(2.20) pada dasarnya menunjukkan bahwa tidak adanya rotasi tarik gravitasi dari
suatu badan tidak teratur memiliki dua kontribusi, yangpertama adalah daya
tarik massa titik yang terletak di pusat gravitasi, istilah keduatergantung
pada momen inersia sekitar pokok kapak, yang pada gilirannya
tergantungsepenuhnya pada bentuk tubuh, atau, lebih tepatnya, pada penyimpangan
bentuk daribola sempurna. Kedua ini
2.2. POTENSIAL GRAVITASI KARENA HAMPIR BODY43
BOLA
meluruh istilah sebagai 1/r3 sehingga pada
jarak yang cukup jauh pendekatan potensialyang M massa apoint dan menjadi
kurang dan kurang sensitif terhadap variasiaspherical dalam bentuk tubuh. Ini
hanya berarti bahwa jika Anda tertarik padapenyimpangan skala kecil dari
simetri bola Anda tidak perlu untuk jauh dari permukaan:yaitu lebih baik untuk
menggunakan data dari satelit dengan orbit yang relatif rendah.Fenomena ini
sebenarnya contoh dari atas (atau bawah) lingkungan kelanjutan, yangakan
dibahas lebih kuantitatif formal ketika memperkenalkan harmonisa bola.
BAB 2. 'S GRAVITASI BUMI MEDAN
Intermezzo 2.5 Momen dan produk inersia
Sebuah momen inersia dari suatu benda tegar
didefinisikan sehubungan dengan suatusumbu tertentu
Untuk massa diskrit : dan untuk sebuah
kontinum
Momen inersia adalah besaran tensor
Catatan: kami kembali ke notasi matriks dan
manipulasi tensor. I adalah tensor orde kedua.
rzT) suatu proyek vektor
(I-RT) adalah sebuah operator proyeksi:
misalnya, (I - z
di (x, y) pesawat, yaitu, tegak lurus
z. Hal ini sangat berguna dalam ekspresi umum
untuk momen inersia sekitar sumbuyang berbeda Unsur-unsur diagonal adalah
saat-saat akrab inersia sekitar x, y,
dan z sumbu. (The off-diagonal elemen dikenal
sebagai produk inersia,
whichvanishwhenwechoose x, y, dan z sebagai
sumbu utama.)
Momen Inersia sekitar x-sumbu
sekitar y-axis
sekitar z-sumbu
Kita bisa mengejar perkembangan lebih lanjut
dengan menyadari bahwa saat
2.2. POTENSIAL GRAVITASI KARENA HAMPIR BODY45
BOLA
inersia Saya sekitar setiap sumbu umum (di
sini OP) dapat dinyatakan sebagaikombinasi linier
momen inersia sekitar sumbu utama Membiarkan
Gambar 2.7: Definisi cosinus arah.
Sejauh ini kita belum spesifik tentang bentuk
tubuh, tetapi untuk Bumi itu relevan untuk mempertimbangkan geometri rotasi
sehingga A = B = C. Ini menyebabkan:Di sini, n = cosθ dengan θ sudut antara OP
dan sumbu z-, yaitu θ adalah co-lintang (θ =90 - λ, dimana λ adalah lintang).
Ini
adalah kebiasaan untuk menulis perbedaan momen inersia sebagai J2 fraksi Ma2,dengan
radius Bumi di ekuator Sehingga
J2
adalah ukuran dari eliptisitas, karena bola C = A, J2 = 0, dan potensial U
(P)tereduksi menjadi ekspresi dari potensial gravitasi dari tubuh dengan
simetri bola.
BAB 2. 'S GRAVITASI BUMI MEDAN
Intermezzo 2.6 eliptisitas istilah
Mari kita singkat kembali ke kesetaraan
dengan ekspansi harmonik bola. Jika kitamengambil μ = cos θ (lihat boks) kita
dapat menulis untuk U (P)
Ekspresi (2.20), ditulis sebagai (2.38), dan
(2,39) adalah identik jika kitamendefinisikan faktor skala Jl sebagai berikut.
Sejak P0 (cos θ) = 1, J0 harus 1karena-GM / r adalah medan jauh panjang; J1 = 0
jika koordinat asal bertepatandengan pusat massa (lihat di atas), dan J2 adalah
seperti dijelaskan di atas. Istilah inisangat menarik karena menggambarkan bentuk
oblate dari geoid. (Istilah orde tinggi(J4, J6 dll) lebih kecil dengan faktor
ketertiban 1000 dan tidak dilakukan lewat sini,tetapi mereka dimasukkan dalam
perhitungan referensi spheroid.
Langkah terakhir menuju menghitung medan
gravitasi referensi untuk menambahpotensi rotasi.
Biarkan ω = ωbe kecepatan sudut rotasi di
sumbu-z. The
z pilihan kerangka acuan penting untuk
mendapatkan tanda-tanda plus dan minuskanan. Sebuah partikel yang bergerak
dengan bumi berputar dipengaruhi oleh FCPgaya sentripetal = ma, yang secara
formal dapat ditulis dalam hal produk silang antarakecepatan sudut ω dan vektor
posisi sebagai mω × (ω × s). Hal ini menunjukkan bahwatitik percepatan
sentripetal terhadap sumbu rotasi. Besarnya gaya per satuan massa adalah sω2 =
rω2 cos λ. Sumber FCP ini, pada kenyataannya, daya tarik gravitasi
Gambar 2.8: Gaya tarik gravitasi menghasilkan
gaya sentripetal akibat rotasi bumi.
Dalam hal potensi, potensi rotasi harus
ditambahkan ke Grav yang
2.2. POTENSIAL GRAVITASI KARENA HAMPIR BODY47
BOLA
itational potensi Ugravity = Ugravitation +
Urot, dengan
(yang sebenarnya persis energi kinetik
rotasi
meskipun kita menggunakan sebuah approxima22
tion dengan mengabaikan komponen geff dalam
arah lintang dλ beragam. Mengapa?Petunjuk: gunakan diagram di atas dan
mempertimbangkan simetri masalah) Geopotensial sekarang dapat ditulis sebagai
yang menggambarkan kontribusi terhadap
potensi karena massa pusat, bentuk oblateBumi (yaitu mendatarkan karena
rotasi), dan rotasi itu sendiri.
Kita juga bisa menulis geopotensial dalam hal
lintang dengan menggantikan (sin λ =cosθ):
Kami sekarang ingin menggunakan hasil ini
untuk menemukan ekspresi bagi potensidan percepatan gravitasi di permukaan
(referensi) spheroid. Merata ditentukan darigeopotensial dengan mendefinisikan
U0 ekipotensial, permukaan U. konstan
Karena U0 adalah sebuah ekipotensial, U harus
menjadi (U0) yang sama untuk titik dikutub dan di khatulistiwa. Kami mengambil
forthe c polarradiusand untuk para khatulistiwa radius dan menulis:
dan
setelah penataan kembali beberapa mengisolasi dan c kita mendapatkan
Yang pada dasarnya menunjukkan bahwa geometri
mendatarkan f seperti yang didefinisikan oleh perbedaan relatif antara
jari-jari kutub dan khatulistiwa adalah terkaitdengan J2 eliptisitas koefisien
m rasio antara tothe (aω2) rotasi
BAB 2. 'S GRAVITASI BUMI MEDAN
gravitasi (GMA-2) komponen gravitasi di
khatulistiwa. Nilai untuk mendatarkan f dapatditentukan secara akurat dari data
orbital, bahkan dalam waktu satu tahun setelahpeluncuran satelit buatan pertama
- oleh soviet - nilai ini dapat ditentukan denganakurasi yang jauh lebih banyak
dibandingkan dengan perkiraan yang diberikan olehbanyak peneliti di
berabad-abad sebelumnya. The merata geometris kecil (f =1/298.257 ≈ 1 / 300)
(tetapi lebih besar dari yang diharapkan dari kesetimbanganmendatarkan tubuh
berputar). Perbedaan antara jari-jari kutub dan khatulistiwademikian tentang
ref = km 6371km/300 21 ≈.
Dalam rangka untuk mendapatkan bentuk acuan
geoid (atau spheroid) satu dapatmenggunakan asumsi bahwa deviasi dari bola
kecil, dan kami dengan demikian bisamenganggap vektor dari pusat bumi ke titik
di referensi geoid untuk menjadi bentuk
Hal ini dapat menunjukkan bahwa dapat ditulis
sebagai fungsi dari f dan lintang sepertiyang diberikan oleh: rg â ¼ a (1â'f
sin2 Î ») dan (dari ekspansi binomial) rg
â'2 â
‰ aâ'2 (1 +2 f sin2 Î »).
Anomali Geoid, yaitu â € geoid œhighsâ € dan
â € œlowsâ € bahwa orang-orang berbicara tentang adalah penyimpangan dari geoid
referensi dan mereka biasanya dariurutan beberapa puluh meter (dengan nilai
(absolut) maksimum sekitar 100 m di dekatIndia), yang kecil (biasanya kurang
dari 0,5%) dibandingkan dengan ketergantunganlintang dari jari-jari (lihat di
atas).
Jadi referensi geoid dengan r = rg menurut
(2,48)melakukan pekerjaan yang cukup baik dalam mewakili geoid rata-rata.
Akhirnya, kita dapat menentukan medan
gravitasi di referensi geoid dengan bentukseperti yang didefinisikan oleh
(2,48) t menghitung posisi rg didefinisikan oleh (2,48).
Dalam koordinat bola Jadi kita bisa perkiraan
besarnya medan gravitasi oleh:
2.2. POTENSIAL GRAVITASI KARENA HAMPIR BODY49
BOLA
atau, dengan pendekatan (ekspansi binomial)
diberikan di bawah ini Eqn. (2.48)
Eqn. (2,53) menunjukkan bahwa medan gravitasi
di spheroid referensi dapat dinyatakan sebagai faktor lintang beberapa kali
tergantung percepatan gravitasi dikhatulistiwa:
Informasi tentang perataan yang dapat
diturunkan langsung dari perubahan relatif dalamgravitasi dari kutub ke
khatulistiwa.
Eq. 2,55 disebut Clairaut's theorem3.
Persamaan kuadrat di atas untuk gravitasisebagai fungsi lintang (2,53)
membentuk dasar rumus gravitasi internasional. Namun,ini referensi internasional
untuk pengurangan data gravitasi didasarkan pada derivasiyang mencakup beberapa
istilah orde yang lebih tinggi. Sebuah bentuk yang khas adalah
g =
(1+ 2 lamda )
(2.56)
dengan faktor α β proporsionalitas dan
tergantung pada GM, ω,, dan f. Nilai-nilaiparameter ini sedang ditentukan lebih
banyak dan lebih akurat dengan meningkatnya jumlah data satelit dan sebagai
hasilnya rumus gravitasi internasional diperbarui secara teratur. Ungkapan di
atas (2,56) juga seri terpotong. Sebuah ekspresi dari bentuk yangtertutup untuk
gravitasi sebagai fungsi lintang diberikan oleh Somigliana Equation4
g(lamda) =
(2.57)
Ungkapan ini kini telah diadopsi oleh
Geodetic Reference System
dan membentuk dasar untuk pengurangan data
gravitasi untuk acuan geoid (atauspheroid referensi). geq = 9,7803267714 ms-2,
k = 0,00193185138639; e =0.00669437999013
BAB 2. 'S GRAVITASI BUMI MEDAN
2.3 Poisson dan Persamaan Laplace
Medan gravitasi Bumi disebabkan oleh
densitas. Distribusi massa planet secara inheren tiga dimensi, tapi kita
manusia akan selalu hanya goresan di permukaan. Yangpaling dapat kita lakukan
adalah mengukur percepatan gravitasi di permukaan bumi.Namun, berkat hubungan
fundamental yang dikenal sebagai Theorem5 Gauss,hubungan antara diamati
permukaan dan sifat-sifat seluruh tubuh tersebut dapatditemukan. Teorema Gauss
adalah salah satu dari kelas teorema dalam analisis vektoryang berhubungan
integral dari berbagai jenis (garis, permukaan, integral volume).Stokes's,
Hijau dan teorema Gauss adalah fundamental dalam studi bidang potensial.Teorema
Gauss karena berkaitan integral atas volume properti beberapa (kebanyakanpada
umumnya, T tensor) ke permukaan yang tidak terpisahkan. Hal ini juga
disebutteorema divergensi. Biarkan V menjadi volume dibatasi oleh permukaan S =
∂ V (lihatGambar 2.9). Sebuah patch diferensial dS permukaan dapat diwakili
oleh vektorlahiriah menunjuk dengan panjang sesuai dengan luas elemen
permukaan. Dalam halunit normal
vektor, hal itu diberikan oleh ║dS║
Gambar oleh OCW MIT.
Gambar 2.9: Permukaan melampirkan volume.
Unit vektor normal.
Teorema Gauss (untuk generik T
"stuff") adalah sebagai berikut:
. T
Ds
(2.58)
Mari kita lihat apa yang kita dapat
menyimpulkan tentang potensial gravitasi dalambumi hanya menggunakan informasi
yang diperoleh di permukaan. Ingat kami
g =
dan g = -
(2.59)
2.3. ATAS PERSAMAAN POISSON DAN LAPLACE
Misalkan kita mengukur g mana-mana di
permukaan, dan jumlah hasilnya. Apa yang kita dapatkan adalah fluks medan
gravitasi
(2.60)
Pada titik ini, kita sudah bisa memprediksi
bahwa jika S adalah melampirkanpermukaan Bumi, fluks medan gravitasi harus
berbeda dari nol, dan selanjutnya, yang seharusnya mempunyai ada hubungannya
dengan distribusi densitas dalam planet ini.Mengapa? Karena garis-garis medan
gravitasi semua titik terhadap pusat massa. Jikafluks adalah nol, lapangan akan
dikatakan solenoidal. Berbeda dengan medan magnetmedan gravitasi pada dasarnya
adalah sebuah monopol. Untuk medan magnet, garis-garis medan baik pergi dan
masuk ke permukaan bola karena Bumi memiliki positifdan kutub negatif. Medan
gravitasi hanya solenoidal di daerah tidak digunakan olehmassa.
Pokoknya, kami akan mulai bekerja dengan
Persamaan. 2,60 dan melihat apa yangkita datang dengan. Di satu sisi (kami
menggunakan Persamaan 2,58 dan. Persamaan 2,59.)
ds
= =
Dv
(2.61)
Di sisi lain (kami menggunakan definisi dari
titik produk dan Persamaan 2,59, danmendefinisikan gn sebagai komponen g normal
untuk dS.):
ds =
-4π = -4πG
(2.62)
Kami telah mengasumsikan bahwa S adalah
permukaan bola, tapi derivasi akanbekerja untuk permukaan apapun. Menyamakan
Persamaan. 2,61 dan 2,62, kita dapatmenyatakan bahwa
= 4π
persamaan poisson
(2.63)
Dan homogen
(r) =
0 persamaan laplace
(2.64)
Penafsiran dalam hal sumber dan rosot dari
bidang potensi dan kaitannya dengangaris-garis medan diringkas dalam Gambar
2.10:
Persamaan Poisson merupakan hasil mendasar.
Ini menyiratkan1.
bahwa total massa tubuh (misalnya, Bumi)
dapat ditentukan dari pengukuran ∇ U =-g dipermukaan (lihat Persamaan. 2,62), dan2.
tidak ada informasi yang diperlukan tentang
bagaimana sebenarnya kerapatan didistribusikan
dalam V
BAB 2. 'S GRAVITASI BUMI MEDAN
Gambar 2.10: Poisson's dan persamaan Laplace.
Jika tidak ada sumber potensial (atau
tenggelam) tertutup dengan persamaan SLaplace harus diterapkan untuk menemukan
potensi pada suatu titik P di luarpermukaan S yang berisi semua massa menarik,
misalnya potensi di lokasi satelit.Tapi dalam batas, juga berlaku di permukaan
bumi. Demikian pula, kita akan melihat bahwa kita dapat menggunakan persamaan
Laplace untuk menggambarkan medanmagnet bumi selama kita berada di luar kawasan
yang berisi sumber potensi magnetik(yaitu inti bumi).
Kita sering harus mencari solusi untuk
persamaan U Laplace ketika hanya nilai U, atau turunannya | ∇ U | = g dikenal pada
permukaan bola. Sebagai contoh jika seseorangingin menentukan distribusi massa
internal Bumi dari data gravitasi. PersamaanLaplace lebih mudah untuk
menyelesaikan dari persamaan Poisson. Dalam prakteknyasatu biasanya bisa
(kembali) mendefinisikan masalah sedemikian rupa sehingga kita dapat
menggunakan persamaan Laplace dengan mengintegrasikan lebih darikontribusi dari
volume kecil dV (berisi sumber dU potensial, yaitu, massa DM), lihat Gambar
2.11 atau dengan menggunakan Newton Hukum Gravitasi bersama denganpersamaan
Laplace dalam iteratif
Gambar 2.11: Berlakunya Poisson's dan
persamaan Laplaces '
2.4. Cartesian DAN SISTEM KOORDINAT BOLA 53
Intermezzo 2.7 Non-keunikan
Satu dapat membuktikan bahwa solusi persamaan
Laplace dapat secara unikditentukan jika kondisi batas yang dikenal (yaitu jika
jangkauan data di permukaanadalah baik), dalam kata lain, jika ada dua solusi
U1 dan U2 yang memenuhi kondisi batas, U1 dan U2 dapat ditunjukkan untuk
menjadi identik. Kabar baik di sini adalahbahwa sekali anda menemukan solusi
untuk U ∇ 2U
= 0 yang memenuhi BC Andatidak perlu khawatir tentang umum dari solusi. Kabar
buruk adalah (lihat juga ayat (2) di atas) bahwa solusi persamaan Laplace tidak
membatasi variasi kepadatan dalam V.Hal ini menyebabkan keunikan
non-fundamental yang khas untuk potensi medan gaya.Kita telah melihat ini
sebelumnya: potensi pada suatu titik P di luar tubuh bola simetrisdengan M
massa total adalah sama dengan potensi M massa titik yang terletak di tengah
O. Di antara O dan P kepadatan pada kulit
bola dapat didistribusikan dalam jumlah tak terbatas cara yang berbeda, namun
potensi di P tetap sama
2.4 Cartesian dan sistem koordinat bola
Dalam koordinat Cartesian kita menulis untuk ∇ 2 (Laplacian)
= +
+
(2.65)
Untuk Bumi, sangat menguntungkan menggunakan
koordinat bola. Ini didefinisikansebagai berikut (lihat Gambar 2.12):
{φ
(2.66)
Gambar 2.12: Definisi r, θ dan φ dalam
koordinat bola
dimana θ = 0 → π = co-lintang, φ = 0 → 2π =
bujur.
Hal ini sangat penting untuk menyadari bahwa,
sedangkan kerangka Cartesiandigambarkan oleh unit bergerak z vektor, vektor
satuan adalah
x, y dan r, φ θand tergantung pada posisi
titik. Mereka adalah sumbu lokal. Pada titik P,
r poin ke arah peningkatan radius dari titik
asal, arah dari θ θin colatitude meningkatdan
φ dalam arah bujur φ meningkat.
'S GRAVITASI BUMI MEDAN
Orang dapat pergi antara koordinat sumbu
transformasi
)
= )
)
(2.67)
Selanjutnya, kita perlu mengingat integrasi
yang lebih dari satu elemen volume dx dy dzmenjadi, setelah perubahan variabel
r2 sinθdr dθ dφ.This dapat diingat oleh faktabahwa θ r2 dosa adalah determinan
dari matriks Jacobian,
yaitu matriks yang diperoleh dengan mengisi
matriks 3 × 3 dengan semua turunanparsial dari Persamaan. 2.66. Setelah
beberapa aljabar, kita dapat menulis bolaLaplacian:
U
= (
) + (sin ) + (
) = 0 (2.68)
2.5 bundar harmonisa
Kami sekarang berusaha untuk memecahkan
persamaan Laplace ∇ 2U
= 0, dalam koordinat bola. persamaan Laplace ditaati oleh ladang potensial di
luar sumber lapangan. Ingatlah bagaimana sinus dan cosinus (atau secara umum,
eksponensial) sering solusi untuk persamaan diferensial, dari dosa kx bentuk
atau kx cos, dimana k dapat mengambil nilai integer. Solusi umum adalah setiap
kombinasi sinus dan cosinus dari semua k mungkin dengan bobot yang dapat
ditentukan dengan memenuhi kondisi batas (BC). Solusi khusus ini dibangun
dengan mencari kombinasi linier dari (basis) fungsi dengan koefisien pembobotan
didikte oleh BC: ini adalah solusi seri. Dalam kasus Cartesian mereka Fourier
Series. Dalam teori Fourier, sinyal, mengatakan time series s (t), seismogram
misalnya, bisa diwakili oleh superposisi cos dan fungsi dosa dan berat dapat
ditemukan yang mendekati sinyal yang akan dianalisis dalam-kuadrat terkecil
akal .
harmonisa Spherical merupakan solusi
Persamaan Laplace bulat itu: mereka pada dasarnya merupakan adaptasi dari
analisis Fourier pada permukaan bola. Sama seperti dengan deret Fourier, yang
superposisi harmonik bola dapat digunakan untuk mewakili dan menganalisis
fenomena fisik yang didistribusikan di permukaan (atau dalam) bumi. Masih dalam
analogi dengan teori Fourier, ada sebuah teorema sampling yang mensyaratkan bahwa
data yang memadai disediakan untuk membuat solusi yang mungkin. Dalam
geofisika, orang sering berbicara tentang (spasial) jangkauan data, yang harus
memadai.
Kita dapat menemukan solusi untuk U ∇ 2U = 0 oleh trik tua yang
baik pemisahan variabel. Kami mencari solusi dengan struktur sebagai berikut:
U (r, θ, φ) = R (r) P (θ) Q (φ)
(2,69)
Mari kita masing-masing faktor secara
terpisah. Dalam berikut, garis besar diberikan tentang bagaimana untuk mencari
solusi dari persamaan eliptik, tetapi bekerja hal ini ketat memerlukan beberapa
usaha yang lebih dari yang Anda mungkin bersedia untuk dibelanjakan. Tapi mari
kita tidak mencoba untuk kehilangan arti fisik apa yang kita datang dengan
. 2.5. BOLA HARMONISA
Radial ketergantungan: R (r)
Ternyata bahwa fungsi memuaskan Persamaan
Laplace milik kelas khusushomogeneous7 harmonic8 fungsi. Sebuah properti
pertama dari fungsi homogen yangdapat digunakan untuk keuntungan kami adalah
bahwa secara umum, fungsi homogendapat ditulis dalam dua bentuk yang berbeda:
(
(2.70)
(l+1)
y( (2.71)
Ini, tentu saja, memberikan bentuk fungsi
radial kami:
R(r)=
{
(
(2.72)
Dua alternatif R (r) = rl dan R (r) = (1 / r)
l +1 menggambarkan perilaku U untuk bidangeksternal dan internal, masing-masing
(dalam dan di luar distribusi massa). Apakah akan menggunakan R (r) = rl dan R
(r) = (1 / r) l +1 tergantung pada masalah yang andakerjakan dan pada kondisi
batas. Jika masalah memerlukan nilai hingga untuk U pada r= 0 daripada kita
perlu menggunakan R (r) = rl. Namun jika kita membutuhkan U → 0forr ∞ → maka
kita harus menggunakan R (r) = (1 / r) l +1. Yang terakhir ini cocok
untukmewakili potensial di luar permukaan yang membungkus semua sumber
potensial,seperti gravitasi potensial U = GMR-1. Namun, keduanya dibutuhkan ketika
kitamenggambarkan potensi magnetik di titik r disebabkan oleh
Longitudinal ketergantungan: Q (φ)
Substitusi Persamaan. 2,69 ke dalam persamaan
Laplace dengan R (r) yang diberikanoleh Persamaan. 2,72, dan membagi Persamaan.
2,69 keluar lagi menghasilkan suatupersamaan di mana θ dan φ-turunan terjadi
pada sisi yang terpisah dari tandapersamaan. Untuk θ sewenang-wenang dan φ ini
harus
=constant
(2.73)
yang terbaik diselesaikan dengan memanggil m2
konstan dan pemecahan untuk Q sebagai:
Q( = Acos m
B sin m
(2.74)
Memang, semua konstanta yang mungkin A dan B
memberikan solusi yang valid, danm harus merupakan bilangan bulat positif.
2.6. GRAVITASI GLOBAL Anomali
Jadi dalam hal permukaan bola harmonik
potensial U (l) pada lingkaran satuan, kita mendapatkan persamaan berikut untuk
lapangan dalam dan di luar distribusi massa:
lUin(r, l)= U(l)
a _a_l+1 Uout(r, l)= U(l) (2.87)
r
untuk gravitasi menjadi :
l
in
g (r, l)= − rl−1U(l)ˆ
r
al
1
out
g (r, l)= al+1(l +1)rl+1 U(l)ˆ
Apa gravitasi karena lembaran tipis massa l
gelar harmonik bola? Mari kita mewakili ini sebagai sheet dengan ketebalan
menghilang, dan panggilan σ (l) kepadatan themass per satuan luas. Dengan cara
ini kita bisa bekerja di r konstan dan menggunakan hasil untuk simetri bulat.
Kita tahu dari hukum Gauss bahwa fluks melalui permukaan melampirkan sedikit
massa sama dengan massa total tertutup (kali-4πG). Jadi membangun sebuah kotak
di sekitar patch permukaan S dengan luas dS, melampirkan sedikit massa DM, kita
dapat menyimpulkan bahwa
gmasuk – gkeluar = 4πGσ(l)
Pada shell ini - memberikan radius, kita
dapat menggunakan pers. 2,88 untuk menemukan gout = U (l) (l +1) / a dan-gin
=-U (l) l / a, dan memecahkan untuk U (l) menggunakan Persamaan. 2.89as U (l) =
4πGσ (l) a / (2l +1). Plugging ini ke pers. 2,88 lagi kita mendapatkan untuk
gravitasi dalam dan luar ini distribusi massa
g (r, l) = 4πGl σ
Panjang skala
Pengukuran tarik gravitasi yang - seperti
telah kita lihat - berguna dalam penentuan bentuk dan sifat rotasi Bumi. Hal
ini penting untuk geodesi. Selain itu, mereka juga memberikan informasi tentang
variasi kepadatan aspherical di lithosfer dan mantel (penting untuk
memahami proses dinamis, interpretasi gambar
seismik, atau untuk menemukan deposit mineral). Namun, sebelum pengukuran
gravitasi dapat digunakan untuk interpretasi beberapa koreksi harus dilakukan:
pengurangan data yang memainkan peran penting dalam gravimetri sejak sinyal
berkaitan dengan struktur kita tertarik sangat kecil.
Mari kita mengambil langkah mundur dan bisa
merasakan panjang skala yang berbeda dan kemungkinan sumber-sumber yang
terlibat. Jika kita menggunakan ekspansi harmonik bola dari U bidang kita dapat
melihat bahwa itu adalah kelanjutan up-atau ke bawah lapangan dan
ketergantungan pada l r dan derajat yang mengontrol perilaku solusi pada
kedalaman yang berbeda (atau radius) (ingat Persamaan 2,87)..
Dengan meningkatnya r dari sumber amplitudo
dari harmonik permukaan menjadi lebih kecil dan lebih kecil, dan pembusukan di
amplitudo (redaman spasial) lebih kuat untuk l derajat lebih tinggi (yaitu,
struktur skala kecil).
Tabel 2.2 memberikan dan gagasan tentang
hubungan antara skala panjang, daerah sumber kemungkinan, dan di mana
pengukuran harus diambil.
Panjang gelombang λ
Pendek
gelombang (λ<1000km atau l> 36)
Panjang
gelombang λ (λ>1000km atau l< 36)
Sumber daerah dangkal:
mungkin kerak dalam,litosfer mungkin
dalam, sumber (lebih rendah mantel) tetapi dangkal tidak dapat dikesampingkan
Pengukuran : bagaimana,kapan Menutup daerah : daerah,tingkat
laut,”orbit rendah”,satelit,planet Jarak
yang besar dariorigin atau anomali,peturbasi,atau orbit satelit
representasi Nilai
di grid: 2D deret fourier Harmonik
melingkar
Sistem koordinat cartesian sperikal
Gravitasi anomali udara bebas
Mari kita berasumsi bahwa tinggi geoid N
sehubungan dengan spheroid adalah karena dM.If suatu DM massa anomali merupakan
kelebihan massa, ekipotensial tersebut keluar bengkok dan akan ada geoid tinggi
(N> 0); sebaliknya, jika DM merupakan kekurangan massa, N <0 dan akan ada
rendah geoid.
Kita dapat mewakili dua potensi sebagai
berikut: dengan geoid aktual, U (r, θ, φ) adalah permukaan ekuipotensial dengan
potensi W0 sama dengan U0 referensi geoid, hanya
U(r,θ,ϕ)= U0(r,θ,ϕ)+ΔU(r,θ,ϕ)
Kami mendefinisikan gravitasi anomali udara
bebas sebagai gravitasi g (P) diukur pada titik P minus gayaberat di proyeksi T
dari titik ini ke referensi geoid di r0, g0 (Q). Mengabaikan
perbedaan-perbedaan kecil di arah, kita dapat menulis untuk magnitudo
Δg = g(P) − g0(Q)
Dalam potensi :
Gambar oleh OCW MIT.
Gambar 2.16: defisit Misa mengarah ke
berundulasi geoid.
Rumus
(Ingat bahwa g0 adalah besar dari gradien
negatif dari U dan karena itu muncul dengan tanda positif.) Kita tahu dari
Persamaan. 2,91 bahwa
Rumus
Tetapi juga, karena potensi U dan U0 yang
sama, U (P) = U0 (Q) dan kita dapat menulis
g0N = −ΔU(P)
Hasil ini dikenal sebagai formula Brun's.
Sekarang untuk vektor gravitasi g dan g0, mereka diberi oleh ekspresi akrab
g = −∇U
g0 = −∇U0
dan vektor gangguan gravitasi? G = g - g0
dapat didefinisikan sebagai perbedaan antara dua jumlah
Gambar 2.17: Penurunan. Perhatikan bahwa
dalam angka ini, konvensi tanda gravitasi terbalik, kami telah digunakan dan
menggunakan bahwa gravitasi adalah gradien negatif dari potensi.
δg = −∇ΔU
Di sisi lain, dari ekspansi orde pertama,
kita belajar bahwa
Rumus
Sekarang kita mendefinisikan gravitasi
free-air anomaly sebagai perbedaan accelartion gravitasi diukur pada geoid yang
sebenarnya (jika Anda berada di sebuah gunung Anda harus mengacu pada permukaan
laut) dikurangi gravitasi referensi:
Δg = g(P) − g0(Q)
GRAVITASI GLOBAL ANOMALI
Jadi pada titik ini sewenang-wenang P pada
geoid, gravitasi anomali? G karena massa anomali muncul dari dua sumber: DGM
kontribusi langsung karena percepatan ekstra oleh massa DM itu sendiri, dan DGH
kontribusi tambahan yang timbul dari kenyataan bahwa g diukur pada ketinggian N
di atas spheroid referensi. Istilah yang terakhir pada dasarnya adalah koreksi
udara bebas, serupa dengan yang kita harus berlaku ketika merujuk pengukuran
(di atas gunung, katakanlah) ke geoid aktual (permukaan laut).
Perhatikan bahwa Persamaan. (2,95) berisi
kondisi batas dari ∇ 2U
= 0. Tinggi geoid N pada setiap titik tergantung pada efek total ekses massa
dan kekurangan di atas bumi. N dapat ditentukan secara unik pada setiap titik
(θ, φ) dari pengukuran anomali gravitasi mengambil alih permukaan seluruh bumi
- ini pertama kali dilakukan oleh Stokes
(1849) - tetapi tidak unik membatasi distribusi massa.
Anomali gravitasi dari ketinggian geoidal
Sebuah cara mudah untuk menentukan ketinggian
geoid N (θ, φ) baik dari bidang potensi anomali ΔU (θ, φ) atau gravitasi
anomali? G (θ, φ) adalah dengan cara ekspansi harmonik bola N (θ, φ) interms
dari ΔU (θ, φ) atau? G (θ, φ).
Ini nyaman untuk hanya memberikan koefisien
Persamaan. 2,86 sejak ekspresi dasar yang sama. Mari kita lihat bagaimana
notasi yang akan bekerja untuk Pers. (2,86):
RUMUS
Perhatikan bahwa A dan B subskrip digunakan
untuk label koefisien bagian cosmφ dan sinmφ, masing-masing. Perhatikan juga
bahwa kita telah mengambil faktor-GMA-l sebagai faktor skala dari koefisien.
Kita juga bisa memperluas potensi U0 pada
spheroid referensi:
RUMUS
(Perlu diketahui bahwa kami tidak menjatuhkan
m, meskipun m = 0 untuk harmonisa zonal
digunakan untuk spheroid referensi. Kami
hanya membutuhkan m koefisien A menjadi nol l untuk m = 0. Dengan melakukan ini
kita bisa menjaga persamaan sederhana.)
Radial ketergantungan: R (r)
Ternyata bahwa fungsi memuaskan Persamaan
Laplace milik kelas khusus homogeneous7 harmonic8 fungsi. Sebuah properti
pertama dari fungsi homogen yang dapat digunakan untuk keuntungan kami adalah
bahwa secara umum, fungsi homogen dapat ditulis dalam dua bentuk yang berbeda:
U1(r, θ, ϕ)= rlYl(θ,ϕ)
Ini, tentu saja, memberikan bentuk fungsi
radial kami:
Dua alternatif R (r) = rl dan R (r) = (1 / r)
l +1 menggambarkan perilaku U untuk bidang eksternal dan internal,
masing-masing (dalam dan di luar distribusi massa). Apakah akan menggunakan R
(r) = rl dan R (r) = (1 / r) l +1 tergantung pada masalah yang anda kerjakan
dan pada kondisi batas. Jika masalah memerlukan nilai hingga untuk U pada r = 0
daripada kita perlu menggunakan R (r) = rl. Namun jika kita membutuhkan U →
0for r ∞ → maka kita harus menggunakan R (r) = (1 / r) l +1. Yang terakhir ini
cocok untuk mewakili potensial di luar permukaan yang membungkus semua sumber
potensial, seperti gravitasi potensial U = GMR-1. Namun, keduanya dibutuhkan
ketika kita menggambarkan potensi magnetik di titik r karena adanya bidang
internal dan eksternal.
Longitudinal ketergantungan: Q (φ)
Substitusi Persamaan. 2,69 ke dalam persamaan
Laplace dengan R (r) yang diberikan oleh Persamaan. 2,72, dan membagi
Persamaan. 2,69 keluar lagi menghasilkan suatu persamaan di mana θ dan
φ-turunan terjadi pada sisi yang terpisah dari tanda persamaan. Untuk θ
sewenang-wenang dan φ ini harus berarti
Rumus
yang terbaik diselesaikan dengan memanggil m2
konstan dan pemecahan untuk Q sebagai :
Q(ϕ)= Acosmϕ + B sinmϕ.
Memang, semua konstanta yang mungkin A dan B
memberikan solusi yang valid, dan m harus positif integer
Lintang ketergantungan: P (θ)
Kondisi ini mirip, kecuali melibatkan baik l
dan m. Setelah beberapa pengaturan ulang, satu tiba di
Rumus
Persamaan ini adalah persamaan Legendre
terkait. Ternyata bahwa ruang fungsi homogen memiliki dimensi 2l +1, maka 0 ≤ ≤
m l.
Jika kita mengganti cos θ = z, Persamaan.
Menjadi 2,75
Rumus
Eq. 2,76 adalah dalam bentuk standar dan
dapat diselesaikan dengan menggunakan berbagai teknik. Paling umum, solusi yang
ditemukan sebagai Pm polinomial (cos θ). Assol The
Persamaan Legendre ciated mengurangi ke
Persamaan Legendre dalam kasus m = 0. Dalam kasus terakhir, ketergantungan
longitudinal hilang sebagai Persamaan juga. 2,74 kembali ke sebuah konstanta.
Fungsi yang dihasilkan Pl (cos θ) memiliki simetri rotasi sekeliling sumbu-z.
Mereka disebut fungsi zonal.
Hal ini dimungkinkan untuk menemukan ekspresi
dari (asosiasi) polinomial Legendre yang merangkum perilaku mereka sebagai
berikut:
Rumus
ditulis dalam segi (m + l) th derivatif dan z
= cosθ. Sangat mudah untuk membuat sebuah meja kecil dengan polinomial ini
(perhatikan bahwa dalam Tabel 2.1, kita telah menggunakan beberapa aturan
trigonometri untuk menyederhanakan ekspresi.) - ini harus Anda mulai dalam
menggunakan pers. 2,77 atau 2,78.
1 Pl(z) Pl(θ)
0 1 1
1 Z cos θ
2 1
2 (3z2 − 1) 1
4 (3 cos 2θ +1)
3 12
(5z3 − 3z) 18 (5 cos 3θ +3cos θ)
Tabel 2.1: polinomial Legendre. Beberapa
fungsi Legendre diplot pada Gambar 2.13
2.5 GERAK MELINGKAR
Bundar harmonisa
Solusi generik untuk U ini ditemukan dengan
menggabungkan perilaku radial, longitudinal dan garis lintang sebagai berikut:
Rumus
Hal ini disebut harmonisa bola solid l
derajat dan ketertiban m.
Harmonisa bola membentuk dasar ortonormal
lengkap. Kami secara implisit mengasumsikan bahwa solusi penuh diberikan oleh
penjumlahan di atas semua l mungkin dan indeks m, seperti pada:
Rumus
Konstanta harus ditentukan dari kondisi
batas. Karena harmonisa bola membentuk dasar ortonormal lengkap, fungsi nyata
sembarang f (θ, φ) dapat diperluas dalam hal harmonisa bola oleh
Rumus
Proses penentuan koefisien Aand B
bahwa untuk menentukan koefisien dalam deret
Fourier, yaitu mengalikan kedua sisi
Persamaan. 2,81 oleh cosm i • Pm (cos Î °)
orsinm i • Pm (cos Î °), mengintegrasikan, dan menggunakan
l
ml
. Untuk distribusi data yang tidak sama,
ortogonal hubungan â € "keluar berasal A
koefisien dapat ditemukan dalam pengertian
kuadrat-terkecil
VISUALISASI
Hal ini penting untuk memvisualisasikan
perilaku harmonik bola, seperti dalam Gambar
2.14.
Gambar 2.14: Beberapa harmonisa bola.
Beberapa terminologi yang perlu diingat
adalah bahwa berdasarkan nilai-nilai dari satu l dan m mengidentifikasi tiga
jenis harmonik
• zonal
harmonisa didefinisikan sebagai orang-orang dari bentuk Pl
(cos θ) =Pl (cos θ). The superposisi dari
polinomial Legendre menjelaskan variasi dengan lintang, mereka tidak bergantung
pada bujur. Zonal harmonisa lenyap pada lingkaran l kecil di dunia, membagi
bola ke garis lintang zona
• Harmonisa
sektoral adalah dari bentuk sin (mφ) P
mm (cos θ) atau cos (mφ) P
mm (cos θ). Ketika mereka lenyap pada 2m
meridian (garis longitudinal, sehingga
lingkaran besar m), mereka membagi bola ke
dalam sektor.
• Harmonisa
tesseral adalah mereka dari bentuk sinP ml (cos Î °) â € ¢
atau cos (MI ) P ml (cos Î °) untuk l = m.
Amplitudo dari permukaan bola
2.5. BOLA HARMONISA
harmonik dari l tingkat tertentu dan m rangka
lenyap di meridian 2m bujur dan (l - m) parallels lintang
Intermezzo 2,8 Cartesian vs representasi bola
Jika Anda bekerja dalam skala kecil dengan
anomali gravitasi lokal (misalnya dalam geofisika eksplorasi) tidak efisien
untuk menggunakan (global) fungsi dasar pada bola karena jumlah koefisien yang
akan memerlukan hanya akan terlalu besar. Misalnya untuk mendapatkan resolusi
skala panjang 100 km (sekitar 1 ◦) Anda perlu untuk mengupgrade sampai l = 360
derajat yang dengan semua kombinasi 0 <m l <melibatkan beberapa ratus
ribu koefisien (berapa banyak tepatnya?). Sebaliknya Anda akan menggunakan Seri
Fourier. Konsep ini mirip dengan harmonik bola. Sebuah deret Fourier hanya
superposisi fungsi harmonik (sinus dan fungsi kosinus) dengan frekuensi yang
berbeda (atau gelombang nomor k = 2π / λ, λ panjang gelombang)
Rumus
(Untuk bidang 2D ekspresi mencakup y tetapi
sebaliknya sangat mirip.) Atau, dalam bentuk yang lebih umum
Rumus
(dibandingkan dengan ekspresi harmonik bola).
Dalam ungkapan ini kelanjutan up-dan ke bawah dari bidang harmonik 1D atau 2D
dikendalikan oleh bentuk eksponensial. Masalah dengan kelanjutan ke bawah
segera menjadi jelas dari contoh berikut. Misalkan dalam ekspedisi gravitasi
laut untuk menyelidiki variasi kepadatan dalam sedimen di bawah dasar laut,
mengatakan, pada kedalaman 2 km, pengukuran gravitasi yang diambil pada
interval 10 m di atas permukaan laut (x0 menentukan ukuran dari grid di mana
pengukuran dibuat). Setelah kelanjutan ke bawah, sinyal terkait dengan panjang
gelombang terkecil yang diperbolehkan oleh jarak grid tersebut akan diperkuat
dengan faktor exp (2000π/10) exp = (200π) ≈ 10.273. (Air tidak mengandung
konsentrasi massa yang berkontribusi terhadap anomali gravitasi dan integrasi
di atas permukaan melampirkan massa air akan menambahkan hanya nilai konstan
untuk potensi gravitasi tetapi yang tidak relevan ketika mempelajari anomali,
dan persamaan Laplace masih dapat digunakan ) Jadi, penting untuk menyaring
data sebelum kelanjutan ke bawah sehingga informasi yang dipertahankan hanya
pada skala panjang yang tidak terlalu jauh lebih kecil daripada jarak dimana
kelanjutan ke bawah telah berlangsung.
Dengan kata lain l derajat memberikan jumlah
baris nodal dan kontrol m urutan cara nomor ini didistribusikan melalui
meridian nodal dan paralel nodal. Semakin tinggi derajat dan pesanan halus
detil yang dapat diwakili, tapi aku meningkatkan dan m hanya masuk akal jika
data pertanggungan adalah cukup untuk membatasi koefisien dari polinomial.
Sebuah rendering yang berbeda diberikan pada
Gambar 2.15.
Sebuah sifat penting berikut dari
ketergantungan kedalaman dari solusi:
Dari eqn. (2.80) kita dapat melihat bahwa (1)
amplitudo dari semua istilah akan menurun dengan semakin jauh jaraknya dari
asal (yaitu, sumber internal potensi)
tentang saya
